限行变动(限行变换可逆)

线性变换可逆的充要条件

1、设V是数域P上的线性空间，σ是V的线性变换，若存在V的变换τ，使στ=τσ=I，其中I为单位变换。

2、一个变换可逆的充分必要条件是这个变换既是单射又是满射。但是，从定理1出发，可以得到有限维线性空间上的线性变换具有一个很好的性质。n维线性空间V.上的线性变换σ是单射的充分必要条件是σ是满射。

3、矩阵可逆的充分必要条件：AB=E；A为满秩矩阵（即r(A)=n）；A的特征值全不为0；A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）。

4、必要性的证明：若A可逆，则存在矩阵C，使得ACB=I单位阵，这只能有A、B、C均是可逆阵。

5、过渡矩阵是基与基之间的一个可逆线性变换，在一个空间V下可能存在不同的基。它表示的是基与基之间的关系。若X是在A基下的坐标，而Y是在B基下的坐标，则X，Y满足X=PY；过渡矩阵为可逆矩阵。

6、使得： AB=BA=E。则称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。求法：A^(-1)=(1/|A|)×A* ，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式，A*为矩阵A的伴随矩阵。

Y=C^{-1}X。二次型X^TAX，用X=CY可以得到Y^T(C^TAC)Y，研究完C^TAC的性质之后还可以通过Y=C^{-1}X再变回去分析原问题的性质。

线性变换的逆变换求法如下：假设T是线性空间上的任意一个线性变换，A是变换矩阵。找到一个可逆矩阵P。对P进行行变换，将每一行的元素除以该行的第一个元素，得到一个新的矩阵Q。

使得ξ=σ(α)，η=σ(β)，因为σ是V的线性变换，于是对于任意a，b∈F，有：aξ+bη=aσ(α) +bσ(β) =σ(aα+bβ)∈σ(V)，这就证明了σ(V)也是V的一个子空间。

=yCACy=y(CAC)y=yΛy，即使CAC=Λ为对角阵。C要可逆，因为考察的原表达式是关于x的，考察原表达式必然要考察所有的x取值，就要求对于所有的x，都对应一个y，也就要求变换C不降秩，C可逆，y=C‘x。

可逆线性变换和正交变换没有区别。当然标准型要求更高一些，变为标准型的过程称为正交变换，感觉正交变换算是非退化的线性替换的一种特殊情况。

1、本质及可逆性角度。从本质上，可逆线性变换是一种特殊的线性映射，是线性空间到自身的映射，坐标系转换是指在相同基准下不同的坐标表达形式间的变换。从可逆性角度，坐标变换一定是可逆的，线性变换不一定可逆。

2、区别：（1）线性变换是一个空间到自身的映射，同构映射通常是一个空间到另一个空间的映射；（2）线性变换未必是可逆的，同构映射首先是双射，故一定是可逆的。

3、线性映射（ linear mapping）是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射且保持加法运算和数量乘法运算，而线性变换（linear transformation）是线性空间V到其自身的线性映射。

4、可逆线性变换和正交变换没有区别。当然标准型要求更高一些，变为标准型的过程称为正交变换，感觉正交变换算是非退化的线性替换的一种特殊情况。

对二次型的矩阵而言，区别为一个是相似，一个正交相似(此时变换也是合同变换)，标准形中的系数都是特征值。

不是得出这个p是可逆的，而是要求p是可逆的。线性变换是线性代数研究的一个对象，即向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似是V上的线性变换，平移则不是V上的线性变换。对线性变换的讨论可借助矩阵实现。

如果不可逆就不能反解为坐标变换，所以配方法得到的标准行正负惯性指数是可以改变的。考研里坐标变换不改变二次型的正定性。

可逆线性变换中的可逆说明这个线性变换是一个一一映射。可逆变换可以在很大程度上保留原有的信息比如二次型X^TAX，用X=CY可以得到Y^T(C^TAC)Y，研究完C^TAC的性质之后。

如果C不可逆，那么合同关系的反身性就没有了。